Координаты вершины параболы
y=x2+x+
Правила ввода
Если вы хотите ввести неполную квадратичную параболу y=ax², y=ax²+bx или y=ax²+c вам нужно вместо соответствующих коэффициентов вписать 0. Если поля останутся пустыми программа впишет 1.
Вводить можно целые(1, 2, 3, -7), десятичные(0.25, -1.15), дробные(-1/8, 32/9). Если необходимо ввести смешанное число, то нужно перед вводом перевести его в неправильную обыкновенную дробь. Т.е. 1 целая 1/2 вводить нужно будет как 3/2.
Формулы вычисления координат вершины параболы
Графиком квадратичной функции является парабола
\[\large y=ax^2+bx+c, a\ne0\]
\[\large x_0=-\frac{b}{2a}\]
\[\large y_0=\frac{4ac-b^2}{4a}\]
Вывод формул вычисления координат вершины параболы
Для того, чтобы вывести формулу вершины параболы необходимо из квадратного трёхчлена выделить полный квадрат по формуле
\[\large (a+b)^2=a^2+2ab+b^2\]
Возьмём формулу квадратного трёхчлена
\[\large y=ax^2+bx+c, a\ne0\]
Вынесем коэффициент a за скобку
\[\large y=a(x^2+\frac{b}{a}x)+c\]
Прибавим и вычтем второе слагаемое квадрата суммы
\[\large y=a\Big(x^2+2\frac{b}{2a}x+\Big(\frac{b}{2a}\Big)^2-\Big(\frac{b}{2a}\Big)^2\Big)+c\]
Выделим квадрат суммы
\[\large y=a\Big(x+\frac{b}{2a}\Big)^2 + \frac{4ac-b^2}{4a}\]
По сути у нас получается функция вида \(y=a(x+l)^2+m\) которая отличается от функции \(y=ax^2\) смещением по оси абцисс на \(-l\), а по оси ординат на m
\[\large l=x_0=-\frac{b}{2a}\]
\[\large m=y_0=\frac{4ac-b^2}{4a}\]
Способы вычисления координат вершины параболы
1) Если дискриминант равен 0 то уравнение будет иметь один корень. Другими словами вершина параболы будет лежать на оси абцисс. Соответственно корень уравнения и будет координатой вершины параболы. Координату по оси ординат можно будет найти подставив найденный корень в уравнение.
Разберём примерНайдём координаты вершины параболы x²+2x+1=yD=2²-4×1×1=0 x=(-2)/(2×1)=-1Подставим в наше уравнение -1y=(-1)²+2×(-1)+1=0Соответственно координаты вершины параболы будут в точке (-1, 0)
2) Если дискриминант больше 0 то уравнение имеет 2 корня. Парабола симметрична относительно вертикали проходящей через её вершину. Соответственно координата x0 равна среднему арифметическому его корней т.е x0=(x1+x2)/2.
Разберём примерНайдём координаты вершины параболы 2x²+3x-5=yD=3²-4×2×(-5)=49 x1=(-3+7)/(2×2)=1x2=(-3-7)/(2×2)=-2.5x0=(1+(-2.5))/2=-0.75 Подставим в наше уравнение -0.75y=2×(-0.75)²+3×(-0.75)-5=-6.125Соответственно координаты вершины параболы будут в точке (-0.75, -6.125)
3) Если квадратный трёхчлен привести к виду y=a(x+l)²+m то координаты вершины параболы будут в точке (-l,m)
Разберём примерНайдём координаты вершины параболы y=2x²-20x+54Вынесем 2 за скобкуy=2(x²-10x)+54Прибавим и отнимем 25y=2(x²-10x+25-25)+54y=2(x²-2×5x+5²-25)+54 y=2((x-5)²-25)+54y=2(x-5)²-50+54y=2(x-5)²+4Соответственно координаты вершины параболы будут в точке (5, 4)
Похожие калькуляторы