Координаты вершины параболы

y=x2+x+

Правила ввода

Если вы хотите ввести неполную квадратичную параболу y=ax², y=ax²+bx или y=ax²+c вам нужно вместо соответствующих коэффициентов вписать 0. Если поля останутся пустыми программа впишет 1.

Вводить можно целые(1, 2, 3, -7), десятичные(0.25, -1.15), дробные(-1/8, 32/9). Если необходимо ввести смешанное число, то нужно перед вводом перевести его в неправильную обыкновенную дробь. Т.е. 1 целая 1/2 вводить нужно будет как 3/2.

Формулы вычисления координат вершины параболы

Графиком квадратичной функции является парабола

y = a x^{2} + b x + c, a \neq 0

x_{0} = - \frac{b}{2 a}

y_{0} = \frac{4 a c - b^{2}}{4 a}

Вывод формул вычисления координат вершины параболы

Для того, чтобы вывести формулу вершины параболы необходимо из квадратного трёхчлена выделить полный квадрат по формуле

(a + b)^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}

Возьмём формулу квадратного трёхчлена

y = a x^{2} + b x + c, a \neq 0

Вынесем коэффициент a за скобку

y = a (x^{2} + \frac{b}{a} x) + c

Прибавим и вычтем второе слагаемое квадрата суммы

y = a (x^{2} + 2 \frac{b}{2 a} x + (\frac{b}{2 a})^{2} - (\frac{b}{2 a})^{2}) + c

Выделим квадрат суммы

y = a (x + \frac{b}{2 a})^{2} + \frac{4 a c - b^{2}}{4 a}

По сути у нас получается функция вида

y = a (x + l)^{2} + m

которая отличается от функции

y = a x^{2}

смещением по оси абцисс на

- l

, а по оси ординат на m

l = x_{0} = - \frac{b}{2 a}

m = y_{0} = \frac{4 a c - b^{2}}{4 a}

Способы вычисления координат вершины параболы

1) Если дискриминант равен 0 то уравнение будет иметь один корень. Другими словами вершина параболы будет лежать на оси абцисс. Соответственно корень уравнения и будет координатой вершины параболы. Координату по оси ординат можно будет найти подставив найденный корень в уравнение.

Разберём пример
Найдём координаты вершины параболы x²+2x+1=y
D=2²-4×1×1=0
x=(-2)/(2×1)=-1
Подставим в наше уравнение -1
y=(-1)²+2×(-1)+1=0
Соответственно координаты вершины параболы будут в точке (-1, 0)

2) Если дискриминант больше 0 то уравнение имеет 2 корня. Парабола симметрична относительно вертикали проходящей через её вершину. Соответственно координата x₀ равна среднему арифметическому его корней т.е x₀=(x₁+x₂)/2.

Разберём пример
Найдём координаты вершины параболы 2x²+3x-5=y
D=3²-4×2×(-5)=49
x₁=(-3+7)/(2×2)=1
x₂=(-3-7)/(2×2)=-2.5
x₀=(1+(-2.5))/2=-0.75
Подставим в наше уравнение -0.75
y=2×(-0.75)²+3×(-0.75)-5=-6.125
Соответственно координаты вершины параболы будут в точке (-0.75, -6.125)

3) Если квадратный трёхчлен привести к виду y=a(x+l)²+m то координаты вершины параболы будут в точке (-l,m)

Разберём пример
Найдём координаты вершины параболы y=2x²-20x+54
Вынесем 2 за скобку
y=2(x²-10x)+54
Прибавим и отнимем 25
y=2(x²-10x+25-25)+54
y=2(x²-2×5x+5²-25)+54
y=2((x-5)²-25)+54
y=2(x-5)²-50+54
y=2(x-5)²+4
Соответственно координаты вершины параболы будут в точке (5, 4)

Найти координаты вершины параболы y=-10x²+14x-16
Найти координаты вершины параболы y=5x²-4x-6
Найти координаты вершины параболы y=-12x²+12x
Найти координаты вершины параболы y=1x²-16x
Найти координаты вершины параболы y=5x²-5
Найти координаты вершины параболы y=-2x²+24

Похожие калькуляторы

Разложение трёхчлена на множители

Решение квадратных уравнений